Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• f(x) - g(x) > 0 sur I : C_f est strictement au-dessus de C_g sur I. • f(x) - g(x) < 0 sur I : C_f est strictement en dessous de C_g sur I. • Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection. • Tangente T_a : étudier le signe de f(x) - [f'(a)(x - a) + f(a)], nul en x = a.

Le cours

Position relative de deux courbes (classe de Première) Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, de courbes C_f et C_g. On pose d(x) = f(x) - g(x). • Si d(x) > 0 pour tout x I, C_f est strictement au-dessus de C_g sur I. • Si d(x) Méthode 1. Former d(x) = f(x) - g(x) et le simplifier. 2. Le factoriser (facteur commun, identité remarquable, racines d'un trinôme) ou, à défaut, étudier ses variations grâce à d'(x). 3. Dresser le tableau de signes de d et traduire chaque signe en position des courbes. Cas d'une courbe et de sa tangente La tangente en a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a). La différence d(x) = f(x) - [f'(a)(x - a) + f(a)] s'annule toujours en a. Si d garde le même signe de part et d'autre de a, la courbe reste d'un seul côté de sa tangente : c'est l'idée qui mène à la convexité en Terminale.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions