Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• f''(x) 0 sur I f convexe sur I. • f''(x) 0 sur I f concave sur I. • Établir la convexité revient à étudier le signe de f''(x).
Le cours
Critère opérationnel par la dérivée seconde Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. • f est convexe sur I si et seulement si pour tout x I, f''(x) 0. • f est concave sur I si et seulement si pour tout x I, f''(x) 0. Démonstration immédiate f convexe f' croissante. Or, d'après le théorème de dérivation de Première appliqué à f', celle-ci est croissante si et seulement si sa dérivée (f')' = f'' est positive ou nulle. Tableau de convexité On dresse un tableau avec le signe de f''(x) : • Signe + Convexe • Signe - Concave Conclure intervalle par intervalle Mini-exemple : pour f(x) = x^3, f''(x) = 6x est négative sur ]-\,;\,0] et positive sur [0\,;\,+[ : f est concave sur ]-\,;\,0] puis convexe sur [0\,;\,+[. Une seule valeur ne suffit pas : « f''(1) > 0 » ne prouve pas que f est convexe ; il faut le signe de f'' sur tout l'intervalle.
Dans ce chapitre
- Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
- Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
- Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
- Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
- Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
- Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
- Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
- Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
- Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
- Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
- Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
- Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
- Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
- Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
- Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
- Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
- Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
- Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
- Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
- Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions