Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• (f(g(x)))' = g'(x) f'(g(x)). • Pour g(x) = ax + b : (f(ax + b))' = a f'(ax + b).

Le cours

Dérivée d'une fonction composée Soient g une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J, et f une fonction dérivable sur J. La fonction composée h = f g, définie par h(x) = f(g(x)), est dérivable sur I et sa dérivée s'écrit : (f g)'(x) = g'(x) f'(g(x)) Décomposition méthodique 1. Identifier la fonction intérieure u = g(x) et calculer sa dérivée g'(x). 2. Identifier la fonction extérieure y = f(u) et calculer sa dérivée f'(u). 3. Multiplier : h'(x) = g'(x) f'(u) en remplaçant u par g(x). Cas affine f(ax + b) Lorsque la fonction intérieure est affine g(x) = ax + b, la dérivée est particulièrement simple : (f(ax + b))' = a f'(ax + b)

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions