Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Poser la différence (x) = A(x) - B(x). • Étudier les variations de via '(x). • Calculer le minimum de sur I : s'il est positif ou nul, alors A(x) B(x) sur I.

Le cours

Méthode de la fonction auxiliaire d'écart Pour démontrer qu'une inégalité A(x) B(x) est vraie sur un intervalle I : 1. Définir la fonction auxiliaire d'écart (x) = A(x) - B(x). 2. Calculer sa dérivée '(x) et étudier son signe pour dresser le tableau de variations de . 3. Déterminer le minimum global de sur I. Si (x) 0, alors A(x) B(x) sur I. Cas d'un minimum nul Très souvent, (x_0) = 0 en un point remarquable x_0, et '(x) s'annule en x_0 en passant de négatif à positif. Le minimum absolu vaut 0, ce qui prouve (x) 0. Stratégie en devoir bilan Cette méthode s'applique lorsque la convexité directe n'est pas immédiate ou lorsque l'inégalité fait intervenir des fonctions trigonométriques, rationnelles ou puissances.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions