Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Dériver f pour déterminer les intervalles de stricte monotonie. • Appliquer le corollaire du TVI branche par branche. • La racine permet de dresser le tableau de signes de f(x).

Le cours

Couplage dérivation et Théorème de la Bijection Pour démontrer qu'une équation f(x) = k admet un nombre précis de solutions sur un intervalle I : 1. On étudie le signe de la dérivée f'(x) pour découper le domaine en intervalles de stricte monotonie. 2. Sur chaque sous-intervalle où f est continue et strictement monotone, on applique le corollaire du TVI (théorème de la bijection) en vérifiant si k appartient à l'intervalle image. 3. On additionne le nombre de solutions obtenues sur chaque branche. Déduction du signe de f(x) Une fois l'unique racine localisée (f() = 0), le tableau de variations donne instantanément le signe de f(x) sur tout le domaine : négatif avant , puis positif après (si f est croissante). Encadrement calculatrice À l'aide de la table de valeurs de la calculatrice ou d'un balayage au dixième puis au centième, on encadre la solution : a b.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions