Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique

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À retenir

• Dérivée seconde : f''(x) = (f'(x))'. • Si f' est elle-même dérivable sur I, f est dite deux fois dérivable sur I. • Physique : x(t) v(t) = x'(t) a(t) = x''(t).

Le cours

Dérivation successive Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la fonction dérivée f' est elle-même dérivable sur I, sa dérivée est appelée dérivée seconde de f, et est notée f'' ou f^(2) : f''(x) = (f')'(x) Interprétation physique : l'accélération Si x(t) représente la position d'un mobile au cours du temps, alors la dérivée première x'(t) = v(t) est la vitesse instantanée, et la dérivée seconde x''(t) = a(t) est l'accélération. Pratique du calcul Pour éviter toute erreur de calcul dans f'', il est capital de simplifier et factoriser au maximum f'(x) avant d'effectuer la seconde dérivation. Mini-exemple et notation Pour f(x) = x^3 - 2x^2 : f'(x) = 3x^2 - 4x, puis f''(x) = 6x - 4, donc f''(1) = 2. La notation f'' désigne la dérivée de f' : ce n'est ni le carré (f(x))^2, ni le produit f'(x) f'(x).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions