Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Le tableau regroupe domaine, zéros de f', signes, limites et extremums. • Extremum global : vérifié sur tout le domaine à partir des limites. • Double barre \| pour les valeurs non définies.

Le cours

Synthèse dynamique : le tableau de variations Le tableau de variations résume l'ensemble des comportements d'une fonction : • Ensemble de définition et valeurs interdites (double barre \|). • Ligne de signe de la dérivée f'(x) (zéros, signes + et -). • Flèches de variations de f, avec les limites aux bornes et les valeurs exactes des extremums. Extremum local vs Extremum global • Local : f(x_0) est la plus grande (ou petite) valeur sur un petit intervalle ouvert autour de x_0. • Global : f(x_0) est la plus grande valeur sur TOUT le domaine D_f (f(x) f(x_0) pour tout x). Cohérence des flèches et limites Une flèche montante doit impérativement relier une valeur inférieure à une valeur supérieure ! Une incohérence (ex : monter de 3 à -1) signale immédiatement une erreur de calcul.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions