Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Convexe sur I : toute corde [AB] est au-dessus de la courbe. • Concave sur I : toute corde [AB] est en dessous de la courbe. • f concave -f convexe.

Le cours

Définition fondamentale par les cordes Soit f une fonction définie sur un intervalle I. • On dit que f est convexe sur I si, pour tous points A et B de la courbe représentative C_f, le segment [AB] (la corde) est situé au-dessus ou sur la courbe C_f. • On dit que f est concave sur I si le segment [AB] est situé en dessous ou sur la courbe C_f. Forme visuelle caractéristique • Une courbe convexe a une forme de « bol ouvert vers le haut » (comme x x^2 ou x e^x). • Une courbe concave a une forme de « cloche ouverte vers le bas » (comme x -x^2). Lien fonction concave / convexe Une fonction f est concave sur un intervalle I si et seulement si son opposée -f est convexe sur I.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions