Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Point d'inflexion : point où la courbe traverse sa tangente. • En ce point, la fonction change de sens de convexité (concave convexe). • Coordonnées du point : (x_0, f(x_0)).

Le cours

Définition géométrique du point d'inflexion Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Un point A(x_0\,;\,f(x_0)) de la courbe représentative C_f est un point d'inflexion si la courbe C_f traverse sa tangente en ce point. Changement de convexité Au point d'inflexion, la fonction change de convexité : elle passe de concave à convexe, ou inversement de convexe à concave. Exemple canonique : la fonction cube Pour f(x) = x^3, en O(0, 0), la tangente est l'axe des abscisses (y = 0). Pour x 0, elle est au-dessus (x^3 > 0). L'origine est un point d'inflexion. Méthode par la tangente 1. Écrire la tangente T : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). 2. Étudier le signe de l'écart d(x) = f(x) - [f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)] de part et d'autre de x_0. 3. Si d change de signe en x_0, la courbe traverse sa tangente : A est un point d'inflexion.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions