Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). • Signe de f'(x) sens de variation de f. • Extremum local en x_0 si f'(x_0) = 0 avec changement de signe.

Le cours

Géométrie et sens de variation (Classe de Première) Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a. L'équation réduite de cette tangente est : y = f'(a)(x - a) + f(a) Théorème de monotonie • f'(x) > 0 sur I f est strictement croissante sur I. • f'(x) Extremum local Si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local (maximum ou minimum) en x_0, valant f(x_0). Méthode : écrire une tangente en trois temps 1. Calculer l'ordonnée f(a) du point de contact. 2. Calculer f'(x), puis le coefficient directeur f'(a). 3. Remplacer dans y = f'(a)(x - a) + f(a) et réduire. Mini-exemple : pour f(x) = x^2 en a = 3, f(3) = 9 et f'(3) = 6, donc la tangente a pour équation y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions