Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• f convexe C_f est au-dessus de toutes ses tangentes (f(x) T_a(x)). • f concave C_f est en dessous de toutes ses tangentes (f(x) T_a(x)).
Le cours
Position relative de la courbe et de ses tangentes Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • f est convexe sur I si et seulement si sa courbe C_f est située au-dessus de toutes ses tangentes sur I. • f est concave sur I si et seulement si sa courbe C_f est située en dessous de toutes ses tangentes sur I. Formulation par inégalité • f convexe sur I pour tous a et x de I, f(x) f'(a)(x - a) + f(a). • f concave sur I pour tous a et x de I, f(x) f'(a)(x - a) + f(a). Application aux inégalités Cette propriété permet d'établir instantanément des inégalités universelles en écrivant la tangente en un point particulier (ex : la tangente à e^x en 0 donne e^x x + 1).
Dans ce chapitre
- Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
- Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
- Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
- Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
- Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
- Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
- Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
- Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
- Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
- Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
- Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
- Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
- Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
- Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
- Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
- Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
- Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
- Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
- Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
- Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions