Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Dérivée première f' : donne les variations et extremums de f. • Dérivée seconde f'' : donne la convexité et les points d'inflexion. • Inflexion f'' s'annule en changeant de signe la tangente traverse la courbe.

Le cours

Synthèse stratégique du chapitre Ce bilan récapitule l'enchaînement canonique pour mener à bien un problème d'analyse de Terminale : dérivation composée étude des variations convexité et points d'inflexion résolution d'équations par le TVI tracé de courbe. Tableau des correspondances Sur un intervalle I : • f'(x) 0 f croissante. • f''(x) 0 f' croissante f convexe. • f''(x) 0 f' décroissante f concave. • f''(x_0) = 0 avec changement de signe point d'inflexion en x_0. Réflexes en devoir surveillé 1. Toujours factoriser f'(x) et f''(x) par les exponentielles ou termes communs. 2. Vérifier la cohérence entre le signe de f'' et la forme de la courbe C_f. 3. Rédiger le TVI avec les 3 mentions obligatoires : continuité, stricte monotonie, appartenance de la valeur cible.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions