Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• f convexe sur I f' est croissante sur I. • f concave sur I f' est décroissante sur I. • La pente des tangentes augmente pour une fonction convexe.

Le cours

Lien fondamental entre convexité et dérivée première Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f' est croissante sur I. • f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f' est décroissante sur I. Interprétation des pentes des tangentes Puisque f'(x) est la pente de la tangente au point d'abscisse x : quand on parcourt la courbe de gauche à droite sur une zone convexe, les tangentes tournent dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire le sens contraire des aiguilles d'une montre (leur pente augmente). Lecture sur la courbe de f' Si on te fournit le graphique de la fonction dérivée f' : repère simplement les intervalles où la courbe de f' monte (f est convexe) et où elle descend (f est concave).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions