Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• (uv)' = u'v + uv'. • (u/v)' = u'v - uv'/v^2. • (e^x)' = e^x. • Ne jamais développer (v(x))^2 au dénominateur.

Le cours

Dérivées usuelles et règles opératoires (Programme de Première) Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et R. Les règles fondamentales de dérivation s'écrivent : (u + v)' = u' + v', ( u)' = u', (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = -v'/v^2, (u/v)' = u'v - uv'/v^2 Dérivées des fonctions de référence • (x^n)' = n x^n-1 (n N^*) • (1/x)' = -1/x^2 sur R^* • (x)' = 12x sur ]0 ; +[ • (e^x)' = e^x sur R Méthode du produit et quotient Identifier explicitement u(x), u'(x), v(x), v'(x) avant d'assembler la formule. Ne jamais développer le dénominateur v^2 dans (u/v)' afin de conserver son signe strictement positif !

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions