Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour tout x R, e^x x + 1. • Égalité uniquement en x = 0. • Conséquence directe de la convexité de l'exponentielle (f(x) T_0(x)).

Le cours

Inégalités de convexité remarquables La convexité de fonctions usuelles permet de prouver des inégalités fondamentales valables pour tout réel : • Comme est convexe sur R et que sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1 : e^x x + 1 pour tout x R avec égalité si et seulement si x = 0. Inégalité de Bernoulli Par convexité de x (1 + x)^n pour n 1 et x > -1, ou par la tangente en 0 : (1 + x)^n 1 + nx Minoration de suites et limites En posant x = 1/n, e^1/n 1 + 1/n. En élevant à la puissance n, on démontre que la suite (1 + 1/n)^n est majorée par e, outil clé d'analyse.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions