Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Modéliser la grandeur par une fonction f(x) sur un intervalle contraint. • Résoudre f'(x) = 0 et étudier le signe de f' pour prouver l'extremum global. • En économie : au maximum (intérieur) du bénéfice, B'(q) = 0, soit C'(q) = R'(q).

Le cours

Optimisation par le calcul différentiel Un problème d'optimisation consiste à maximiser ou minimiser une grandeur (aire, volume, coût, bénéfice) sous certaines contraintes : 1. Choisir une variable x pertinente et préciser son intervalle de validité géométrique ou économique. 2. Exprimer la quantité à optimiser sous la forme d'une fonction f(x). 3. Dériver f, trouver les points critiques où f'(x) = 0, et déterminer la valeur optimale grâce au tableau de variations. Applications économiques • Bénéfice : B(q) = R(q) - C(q) (Recette moins Coût total). • Si le bénéfice est maximal pour une production q_0 intérieure à l'intervalle, alors B'(q_0) = 0 : le coût marginal égale la recette marginale, C'(q_0) = R'(q_0). Applications géométriques • Maximiser l'aire d'un enclos à périmètre fixé. • Minimiser la matière d'une boîte cylindrique à volume imposé.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions