Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Limite infinie en a asymptote verticale x = a. • Limite finie L en asymptote horizontale y = L. • Position relative : signe de f(x) - L.

Le cours

Typologie des asymptotes en Terminale Aux bornes ouvertes de son ensemble de définition, l'étude des limites révèle le comportement asymptotique de la courbe C_f : • Asymptote verticale : si _x a f(x) = , la droite d'équation x = a est asymptote verticale. • Asymptote horizontale : si _x f(x) = L (L R), la droite d'équation y = L est asymptote horizontale en . Position relative courbe / asymptote Pour étudier la position de C_f par rapport à l'asymptote y = L, on étudie le signe de la différence d(x) = f(x) - L (pour une asymptote oblique y = ax + b : d(x) = f(x) - (ax + b)) : • d(x) > 0 C_f est au-dessus. • d(x) Branches infinies Si _x + f(x) = , il n'y a pas d'asymptote horizontale en +. La courbe peut alors admettre une asymptote oblique y = ax + b, lorsque _x + [f(x) - (ax + b)] = 0 (par exemple y = x pour x + 1/x), ou s'éloigner sans aucune asymptote, comme les courbes de x^2 ou de x.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions