Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Déterminer D_f en éliminant dénominateurs nuls et radicandes négatifs. • Justifier la dérivabilité sur les intervalles ouverts correspondants. • Détecter d'éventuelles parités ou périodicités pour réduire l'intervalle d'étude.

Le cours

Fondations de l'étude globale Toute étude rigoureuse de fonction commence par déterminer précisément : 1. L'ensemble de définition D_f : valeurs interdites (dénominateurs nuls, expressions sous racine strictement négatives). 2. Le domaine de continuité et de dérivabilité : en appliquant les théorèmes généraux sur les sommes, produits, quotients et composées de fonctions usuelles. Symétries éventuelles • Si f(-x) = f(x) : fonction paire (symétrie axiale par rapport à (Oy)). • Si f(-x) = -f(x) : fonction impaire (symétrie centrale par rapport à l'origine O). Permet de restreindre l'étude à D_f [0 ; +[. Périodicité Si f(x + T) = f(x) pour tout x, la fonction est périodique de période T. On restreint alors l'étude à un intervalle de longueur T.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions