Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Point d'inflexion en x_0 f''(x_0) = 0 ET f'' change de signe en x_0. • Autrement dit : f' change de sens de variation en x_0. • Si f''(x_0) = 0 sans changer de signe, pas de point d'inflexion.

Le cours

Théorème de détection analytique Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. La courbe C_f admet un point d'inflexion en x_0 si et seulement si : f''(x_0) = 0 et f''(x) change de signe en x_0 La condition de changement de signe L'annulation f''(x_0) = 0 est nécessaire mais NON suffisante ! Exemple piège : pour f(x) = x^4, on a f''(x) = 12x^2. En 0, f''(0) = 0 mais 12x^2 0 ne change pas de signe : il n'y a PAS de point d'inflexion en 0 ! Équivalence avec f' Puisque f'' est la dérivée de f', le fait que f'' s'annule en changeant de signe signifie que f' change de sens de variation en x_0 : f' y admet un extremum local, la pente des tangentes y est maximale ou minimale.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions