Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour tout y > 0, (y) est l'unique réel x tel que e^x = y : (y) = x e^x = y. • La fonction est définie sur ]0, +[ et prend toutes les valeurs réelles. • Les courbes de et de sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Le cours

Définition fondamentale La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de R sur ]0, +[. Pour tout réel y ]0, +[, l'équation e^x = y admet donc une unique solution dans R. On appelle fonction logarithme népérien, notée , la fonction qui à tout réel y > 0 associe cette unique solution x. Équivalence fondamentale Pour tout x R et tout y ]0, +[ : (y) = x e^x = y Symétrie graphique Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice, la droite d'équation y = x. Méthode : passer d'une écriture à l'autre Pour tout réel y > 0, (y) est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir y. • e^x = 5 x = (5) (et (5) 1,61). • (y) = 2 y = e^2 7,39. • e^x = -2 n'a pas de solution : un réel négatif n'a pas de logarithme. Attention La fonction n'est définie que sur ]0, +[, mais elle prend toutes les valeurs réelles, même négatives : (0,5) -0,69.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien