Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour tout n 1, _x 0^+ x^n (x) = 0. En 0, les puissances de x imposent leur limite face au logarithme.

Le cours

Théorèmes de croissances comparées en 0^+ Au voisinage de 0, le produit x^n (x) présente une forme indéterminée du type « 0 (-) ». Les puissances de x l'emportent sur le logarithme, et pour tout entier naturel n 1 : _x 0^+ x^n (x) = 0 En particulier pour n = 1 : _x 0^+ x (x) = 0. Démonstration par changement de variable Posons X = 1/x. Quand x 0^+, X +. x(x) = 1/X (1/X) = -(X)/X. Par croissances comparées en +, _X + (X)/X = 0, d'où _x 0^+ x(x) = 0. Prolongement par continuité La fonction f(x) = x(x) est prolongeable par continuité en 0 en posant f(0) = 0. Sa courbe admet en 0 une demi-tangente verticale dirigée vers le bas car f(x)-0/x = (x) -.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien