Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme

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À retenir

• ( x)' = 1/x > 0 : est strictement croissante sur ]0, +[. • Pour a > 0 et b > 0 : a < b (a) < (b) et a = b (a) = (b). • croît de - (en 0^+) à +, en passant par (1) = 0 et (e) = 1.

Le cours

Stricte croissance de la fonction logarithme Pour tout x ]0, +[, on a ( x)' = 1/x > 0. Par conséquent, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0, +[. Comparaisons immédiates Pour tous réels a > 0 et b > 0 : • a Tableau de variations complet Sur ]0, +[ : • Limite en 0^+ : - • En x = 1 : (1) = 0 • En x = e : (e) = 1 • Limite en + : + Conséquences pour les équations et inéquations Pour x > 0 : (x) 2 (x) (e^2) x e^2, donc l'ensemble des solutions est ]0\,;\,e^2] (et non ]-\,;\,e^2]). De même (x) > -1 x > e^-1. On n'oublie jamais la condition x > 0.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien