Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour tout réel x : (e^x) = x. • Pour tout réel x > 0 : e^(x) = x. • et « s'annulent » l'une l'autre, à condition de respecter le domaine de .

Le cours

Annulation réciproque des fonctions et Puisque la fonction logarithme est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, la composition de ces deux fonctions dans un ordre ou dans l'autre donne la fonction identité sur leurs ensembles de validité respectifs. (e^x) = x sur R Pour tout nombre réel x : (e^x) = x Cette formule est vraie sans restriction de signe pour x. e^(x) = x sur ]0, +[ Pour tout nombre réel x > 0 : e^(x) = x Cette formule exige impérativement que x soit strictement positif. Méthode et piège • Pour simplifier, on fait apparaître l'une des deux formes : e^3 + (2) = e^3 e^(2) = 2e^3 ; (e^x^2 + 1) = x^2 + 1. • Dans une équation, remplacer e^(x) par x n'est permis que pour x > 0 : il faut écrire cette condition avant de calculer, puis vérifier les solutions trouvées.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien