Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1

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À retenir

• La tangente à la courbe de au point d'abscisse 1 a pour équation y = x - 1. • Pour tout x > 0 : (x) x - 1, avec égalité si et seulement si x = 1. • Cela traduit la concavité de : ( x)'' = -1/x^2 < 0.

Le cours

Tangente au point d'abscisse 1 et concavité L'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse 1 est donnée par : y = '(1)(x - 1) + (1) = 1(x - 1) + 0 = x - 1 Comme la dérivée seconde de est ( x)'' = -1/x^2 concave sur ]0, +[. Sa courbe est donc entièrement située au-dessous de toutes ses tangentes. L'inégalité fondamentale Pour tout réel x > 0 : (x) x - 1 L'égalité a lieu si et seulement si x = 1. Forme alternative avec u > -1 En posant x = 1 + u (avec u > -1) : (1 + u) u Cette inégalité est extrêmement utile pour majorer le logarithme au voisinage de 0. Utilisation numérique L'inégalité donne des majorations rapides : (1,1) 0,1 (valeur exacte 0,0953) et (2) 1 ( 0,693). Près de 1, la tangente est une bonne approximation : (x) x - 1.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien