Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première

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À retenir

• Pour tous réels a et b : e^a+b = e^a e^b, e^a-b = e^a/e^b et e^-a = 1/e^a. • Pour tout entier relatif n : (e^a)^n = e^na. • e^x > 0 pour tout réel x : si k 0, l'équation e^x = k n'a aucune solution. • e^A = e^B A = B et e^A < e^B A < B.

Le cours

Fondamentaux de Première : Fonction Exponentielle La fonction exponentielle, notée : x e^x, est l'unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1. Elle est strictement positive sur R et strictement croissante. Propriétés algébriques Pour tous réels a et b et tout entier relatif n : • e^a+b = e^a e^b • e^-a = 1/e^a • e^a-b = e^a/e^b • (e^a)^n = e^na Équations e^x = k Comme e^x > 0 pour tout réel x : • Si k 0, l'équation e^x = k n'admet aucune solution réelle. • Si k > 0, l'équation admet une unique solution réelle (qui sera précisément définie comme (k)). Méthode : se ramener à e^A = e^B ou e^A La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels A et B : e^A = e^B A = B et e^A 1 = e^0 2x > 0 x > 0.

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