Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour condenser : k(a) = (a^k), puis sommes produits et différences quotients. • Pour développer : produits sommes, quotients différences, puissances coefficients, (a) = 1/2(a). • Chaque argument doit être strictement positif pour que la transformation soit valable.

Le cours

Techniques de calcul algébrique La maîtrise des calculs avec le logarithme repose sur deux démarches réciproques : 1. Développer une expression complexe sous forme de somme et différence de logarithmes simples. 2. Condenser une combinaison linéaire de logarithmes sous la forme d'un unique logarithme (K). Développement (a^p bc^q) = p(a) + 1/2(b) - q(c) Utile pour dériver plus facilement ou comparer des grandeurs. Condensation 2(a) + 3(b) - (c) = (a^2) + (b^3) - (c) = (a^2 b^3/c) Étape indispensable pour résoudre des équations du type (A) = (B). Méthode et attention • Ordre conseillé pour condenser : 1. faire entrer les coefficients en exposants ; 2. regrouper sommes en produits et différences en quotients ; 3. simplifier la fraction obtenue. • Les transformations ne sont valables que si chaque argument est strictement positif : pour x 0.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien