Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Si u est dérivable et strictement positive sur I : ((u))' = u'/u. • (u) a les mêmes variations que u sur I. • Un extremum de u en a donne un extremum de (u) en a, de valeur (u(a)).

Le cours

Formule de dérivation de (u) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction composée f = u : x (u(x)) est dérivable sur I, et sa dérivée est donnée par : ((u))' = u'/u Variations identiques Puisque u(x) > 0 sur I, le quotient u'(x)/u(x) a exactement le même signe que u'(x). Ainsi, la fonction (u) a le même sens de variation que la fonction u sur l'intervalle I. Méthode 1. Déterminer l'intervalle où u(x) > 0. 2. Calculer u'(x), puis f'(x) = u'(x)/u(x). 3. Le signe de f' est celui de u' : les variations de (u) sont celles de u. Exemple : f(x) = (x^2 - 4x + 5), avec x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 > 0 ; f'(x) = 2x - 4/x^2 - 4x + 5, donc f décroît sur ]-\,;\,2], croît sur [2\,;\,+[ et son minimum est f(2) = (1) = 0.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien