Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien

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À retenir

• est la réciproque de l'exponentielle : pour y > 0, (y) = x e^x = y ; domaine ]0, +[. • (ab) = (a) + (b), (a/b) = (a) - (b), (a^n) = n(a). • ( x)' = 1/x et ( u)' = u'/u ; est strictement croissante et concave. • _x 0^+ (x) = -, _x + (x) = + ; croissances comparées : (x)/x^n 0 en +, x^n(x) 0 en 0^+.

Le cours

Synthèse générale du chapitre La fonction logarithme népérien : ]0, +[ R est la réciproque de l'exponentielle. Ce bilan rassemble toutes les formules incontournables, les théorèmes de dérivation, les croissances comparées et les méthodes types d'épreuve. Propriétés algébriques • (ab) = (a) + (b) • (a/b) = (a) - (b) • (1/b) = -(b) • (a^n) = n(a) • (a) = 1/2(a) Analyse et Dérivation • ( x)' = 1/x > 0 • ( u)' = u'/u • est strictement croissante • Concave sur ]0, +[ : (x) x - 1 Limites et Asymptotes • _x 0^+ (x) = - (x = 0 asymp. vert.) • _x + (x) = + • _x + (x)/x^n = 0 • _x 0^+ x^n (x) = 0

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien