Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour a 0 et m, n entiers relatifs : a^m a^n = a^m+n, a^m/a^n = a^m-n, (a^m)^n = a^mn. • a^0 = 1 et a^-n = 1/a^n. • Pour tous réels x, y : e^x+y = e^x e^y, e^-x = 1/e^x, et (e^x)^n = e^nx pour n entier.

Le cours

Puissances et exponentielle : les règles de Première Les propriétés du logarithme népérien sont la traduction des règles de calcul sur les puissances. Elles s'appliquent aux puissances entières d'un réel non nul et à l'exponentielle e^x, définie pour tout exposant réel x. Puissances entières Pour tous réels non nuls a, b et tous entiers relatifs m, n : • a^m a^n = a^m+n et a^m/a^n = a^m-n • (a^m)^n = a^mn et (ab)^n = a^n b^n • a^0 = 1 et a^-n = 1/a^n Les mêmes règles pour l'exponentielle Pour tous réels x, y et tout entier relatif n : • e^x e^y = e^x+y et e^x/e^y = e^x-y • e^-x = 1/e^x et (e^x)^n = e^nx Exemple : e^3 e^-1e^2 = e^3 - 1 - 2 = e^0 = 1. Vers le logarithme Un produit de puissances de même base devient une somme d'exposants : c'est exactement ce que fera le logarithme, avec (ab) = (a) + (b) et (a^n) = n(a). Écrire les nombres dans une même base (4 = 2^2, 8 = 2^3) reste le premier réflexe.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien