Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)

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À retenir

• Pour b > 0 : (1/b) = -(b). • Pour a > 0 et b > 0 : (a/b) = (a) - (b). • Le logarithme transforme un quotient en différence, jamais en quotient de logarithmes.

Le cours

Logarithme de l'inverse et du quotient La relation fonctionnelle permet de déduire immédiatement le comportement de la fonction logarithme vis-à-vis de l'inverse et de la division : elle transforme un quotient en soustraction. Logarithme de l'inverse Pour tout réel b > 0 : (1/b) = -(b) En effet, (b) + (1/b) = (b 1/b) = (1) = 0. Logarithme du quotient Pour tous réels a > 0 et b > 0 : (a/b) = (a) - (b) Méthode et domaine • On décompose avec des nombres simples : (0,125) = (1/8) = -3(2) ; (2/e) = (2) - 1. • Les deux écritures n'ont pas le même domaine : (x/x - 1) existe pour x 1, alors que (x) - (x - 1) n'existe que pour x > 1. On ne remplace l'une par l'autre que là où les deux existent.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien