Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

1. Poser les conditions d'existence. 2. Utiliser (A) = (B) A = B ou poser X = (x). 3. Vérifier l'appartenance des solutions au domaine.

Le cours

Méthode rigoureuse de résolution La résolution d'une équation contenant des logarithmes comporte 3 étapes incontournables : 1. Ensemble de validité D : imposer la stricte positivité de chaque argument. 2. Transformation algébrique : se ramener à (A) = (B) A = B ou (A) = k A = e^k. 3. Vérification : ne retenir que les solutions appartenant à D. Équations se ramenant à (A) = (B) Par stricte croissance du logarithme : Pour A > 0 et B > 0 : (A) = (B) A = B. Changement de variable X = (x) Pour une équation de la forme a( x)^2 + b(x) + c = 0, on pose X = (x) pour résoudre le trinôme aX^2 + bX + c = 0, puis on revient à x = e^X.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien