Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• est dérivable sur ]0, +[ et ( x)' = 1/x. • Cette dérivée est strictement positive sur ]0, +[. • Nombre dérivé en 1 : '(1) = 1, d'où _h 0 (1+h)/h = 1.

Le cours

Théorème de dérivation La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, +[, et pour tout réel x > 0 : ( x)' = 1/x Démonstration On admet que est dérivable sur ]0, +[. On sait que e^(x) = x pour x > 0. En dérivant les deux membres par rapport à x : ( x)' e^(x) = 1 ( x)' x = 1 ( x)' = 1/x. Conséquence sur la limite en 0 de (1+h)/h Le taux d'accroissement en 1 donne la limite remarquable : _h 0 (1+h)/h = '(1) = 1/1 = 1 Méthode : dériver une expression contenant (x) On combine ( x)' = 1/x avec les règles de Première (somme, produit, quotient). Exemple : pour f(x) = x(x) - x sur ]0, +[, f'(x) = (1 (x) + x 1/x) - 1 = (x). On réduit ensuite au même dénominateur pour étudier le signe : 3/x - 8x = 3 - 8x^2/x.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien