Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Sur ]0, 1[, (x) 0. Le pivot du signe de (x) est 1, et non 0.

Le cours

Étude de signe de (x) Comme la fonction est strictement croissante et s'annule en 1 ((1) = 0), son signe dépend de la position de x par rapport à 1 : • Pour tout x ]0, 1[, on a (x) (x) est strictement négatif. • Pour x = 1, (1) = 0. • Pour tout x ]1, +[, on a (x) > (1) = 0 : (x) est strictement positif. Tableau de signes Sur ]0, 1[ : (x) 0. Règle des signes en produit/quotient Pour étudier le signe d'expressions comme (x-2)(x) ou (x)/x-3, on place la ligne de signe de (x) (changement en 1) et celle de chaque facteur dans un tableau de signes classique.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien