Limite en + de la fonction logarithme népérien

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À retenir

_x + (x) = +. La fonction n'est pas bornée supérieurement.

Le cours

Comportement en + La fonction logarithme népérien tend vers + en + : _x + (x) = + Cette croissance vers + est néanmoins extrêmement lente par rapport à celle des fonctions puissances ou exponentielles. Démonstration par réciproque En posant X = (x), x = e^X. Quand x +, l'égalité e^X = x + impose que X +. Donc _x + (x) = +. Absence d'asymptote horizontale La courbe ne possède pas d'asymptote horizontale en + : n'est pas majorée. Sa croissance ralentit pourtant sans cesse, car la pente 1/x de ses tangentes tend vers 0. Méthode : limites de composées et de différences • Si u(x) +, alors (u(x)) + ; si u(x) > 0, alors (u(x)) (). • Pour une différence de logarithmes (forme « - »), on regroupe en un seul : (x + 1) - (x) = (1 + 1/x) (1) = 0.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien