Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

_x 0^+ (x) = -. L'axe des ordonnées (x = 0) est asymptote verticale à la courbe C_.

Le cours

Comportement asymptotique en 0^+ Lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures (x > 0) : _x 0^+ (x) = - Interprétation graphique : La droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration par réciproque On pose X = (x). Alors x = e^X. Quand x 0^+, on a e^X 0, ce qui équivaut à X -. Donc _x 0^+ (x) = -. Asymptotes décalées pour (x - a) Pour une fonction f(x) = (x - a) définie pour x > a : _x a^+ f(x) = -. La droite d'équation x = a est alors asymptote verticale. Méthode pour les limites en 0^+ • On remplace (x) par - et on applique les règles opératoires : _x 0^+ (3 - (x)) = + ; _x 0^+ (x)/x = - (forme -/0^+, non indéterminée). • Le produit x(x) est, lui, une forme indéterminée « 0 (-) » : il relève des croissances comparées.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien