Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)

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À retenir

• Pour tout a > 0 et tout entier relatif n : (a^n) = n(a). • Pour tout a > 0 : (a) = 1/2(a). • Pour isoler un exposant inconnu : q^n = c n = (c)/(q) (avec q > 0, q 1 et c > 0).

Le cours

Logarithme d'une puissance et d'une racine Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n, la répétition de la relation fonctionnelle donne : (a^n) = n (a) En particulier pour la racine carrée : comme (a)^2 = a, on a 2(a) = (a), d'où : (a) = 1/2(a) Puissances entières et négatives • (a^3) = 3(a) • (a^-2) = -2(a) • L'exposant se transforme en coefficient multiplicateur devant le logarithme. Combinaisons utiles • (1/a^n) = -n(a) • (aa) = (a) + 1/2(a) = 3/2(a) • (e^n) = n et (e) = 1/2 Méthode : faire descendre un exposant inconnu Si l'inconnue n est en exposant, on applique aux deux membres (strictement positifs) : 2^n = 1000 n(2) = (1000) n = (1000)/(2) 9,97. Pour une inéquation, attention au signe de (q) avant de diviser : il est négatif si 0 < q < 1.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien