Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• La fonction est définie sur ]0, +[ : (0) et le logarithme d'un négatif n'existent pas. • (1) = 0, (e) = 1 et (1/e) = -1. • (u(x)) n'a de sens que si u(x) > 0.

Le cours

Domaine de validité et valeurs de référence L'expression (u(x)) est définie si et seulement si u(x) existe et est strictement positif : u(x) > 0. Les deux valeurs repères fondamentales à mémoriser sont (1) = 0 et (e) = 1 (avec e 2,718). Condition d'existence • (A) existe A > 0. • Pour une fonction quotient ou racine à l'intérieur, il faut croiser les contraintes de stricte positivité et d'annulation éventuelle des dénominateurs. Valeurs remarquables • (1) = 0 • (e) = 1 • (1/e) = -1 • (e^k) = k pour tout réel k. Méthode : ensemble de définition de (u(x)) 1. Écrire la condition u(x) > 0 pour chaque logarithme de l'expression. 2. Résoudre chaque inéquation (signe d'une expression affine, d'un trinôme ou d'un quotient). 3. Prendre l'intersection des ensembles obtenus. Exemple : f(x) = (x) + (5 - x) exige x > 0 et x < 5, donc D_f = ]0\,;\,5[.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien