Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)

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À retenir

• Pour tous réels a > 0 et b > 0 : (ab) = (a) + (b). • Le logarithme transforme un produit en somme ; la formule s'étend à un produit de plusieurs facteurs strictement positifs. • Il n'existe aucune formule pour (a + b).

Le cours

Propriété fondamentale de morphisme La propriété historique et essentielle de la fonction logarithme est de transformer un produit en somme : pour tous réels strictement positifs a et b, on a : (a b) = (a) + (b) Démonstration Soit x = (a) et y = (b). Alors e^x = a et e^y = b. Par produit d'exponentielles : a b = e^x e^y = e^x+y. En appliquant la fonction logarithme : (ab) = (e^x+y) = x + y = (a) + (b). Généralisation à plusieurs facteurs Pour tous réels strictement positifs a_1, a_2, , a_n : (a_1 a_2 a_n) = _k=1^n (a_k) Attention aux conditions • La formule exige a > 0 et b > 0. Pour x > 3, (x) + (x - 3) = (x(x - 3)) ; mais pour x = -1, (x(x-3)) = (4) existe alors que (-1) n'existe pas. • Aucune formule pour une somme : (2 + 3) = (5) 1,61 alors que (2) + (3) = (6) 1,79.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle et équations e^x = k de Première
• Fonctions strictement monotones et résolution d'équations de Première
• Définition de la fonction logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Puissances entières, exposants réels et règles de calcul de Première
• Domaine de définition ]0, +[ et valeurs remarquables (1) = 0 et (e) = 1
• Relations fondamentales (e^x) = x et e^(x) = x
• Relation fonctionnelle fondamentale (ab) = (a) + (b)
• Propriétés du quotient et de l'inverse : (a/b) et (1/b) = -(b)
• Propriété de la puissance : (a^n) = n (a) et (a) = 1/2(a)
• Simplification et transformation d'expressions avec logarithmes
• Dérivabilité et calcul de la dérivée de (x) : ( x)' = 1/x
• Variations, stricte croissance et tableau complet de la fonction logarithme
• Signe de la fonction logarithme népérien sur ]0, +[
• Tangente en 1 et inégalité fondamentale (x) x - 1
• Limite en 0^+ et asymptote verticale d'équation x = 0
• Limite en + de la fonction logarithme népérien
• Croissances comparées en + : _x + x/x^n = 0
• Croissances comparées en 0^+ : _x 0^+ x^n (x) = 0
• Dérivée et variations de la fonction composée (u(x))
• Résolution d'équations avec logarithme et changement de variable
• Résolution d'inéquations avec logarithme et détermination de seuils q^n c
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction logarithme népérien