Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour f 0 et a b, _a^b f(x)\,dx est l'aire sous la courbe C_f entre x = a et x = b, exprimée en unités d'aire (u.a.).

Le cours

Définition géométrique fondamentale Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b] (avec a b). On appelle intégrale de f entre a et b, notée _a^b f(x)\,dx, l'aire, exprimée en unités d'aire (u.a.), du domaine délimité par : • la courbe représentative C_f, • l'axe des abscisses, • et les droites verticales d'équations x = a et x = b. Notation et vocabulaire • Le symbole est un « S » allongé pour « somme ». • a est la borne inférieure, b la borne supérieure. • x est une variable muette : _a^b f(x)\,dx = _a^b f(t)\,dt. Cas des fonctions constantes et affines Si f(x) = k > 0, l'aire sous la courbe est un rectangle : _a^b k\,dx = k(b - a). Si f est affine positive, le domaine est un trapèze.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral