Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)

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À retenir

Pour toute primitive F de f : _a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a). La constante d'intégration peut être choisie égale à 0.

Le cours

Théorème fondamental de l'analyse Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soient a et b deux réels de I. Pour toute primitive F de f sur I, on a : _a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) Indépendance de la constante Si on choisit une autre primitive G(x) = F(x) + C, alors : G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a). La constante C s'élimine systématiquement dans la soustraction. Notation entre crochets La notation [F(x)]_a^b se lit « F(x) pris entre a et b » et désigne la différence F(b) - F(a) (borne du haut moins borne du bas). Méthode de calcul 1. Chercher une primitive F de f (lecture inverse du tableau des dérivées). 2. Vérifier en dérivant : F'(x) = f(x). 3. Écrire [F(x)]_a^b, calculer F(b) et F(a) séparément, puis soustraire. Exemple immédiat _0^2 x^2\,dx = [x^3/3]_0^2 = 8/3 - 0 = 8/3. Le résultat est un nombre réel : la variable x a disparu.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral