Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour a b : f 0 _a^b f 0, et f g _a^b f _a^b g. L'intégration conserve l'ordre.

Le cours

Théorème de positivité et de conservation de l'ordre Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] avec a b. 1. Positivité : Si f(x) 0 sur [a, b], alors _a^b f(x)\,dx 0. 2. Comparaison : Si f(x) g(x) sur [a, b], alors _a^b f(x)\,dx _a^b g(x)\,dx. Condition essentielle : a b Ce résultat n'est vrai que si les bornes sont dans l'ordre croissant (a b). Si a > b, l'inégalité s'inverse ! Positivité stricte Si f est continue, positive et non identiquement nulle sur [a, b] avec a 0. Méthode : comparer deux intégrales 1. Comparer les fonctions point par point sur [a\,;\,b]. 2. Vérifier a b. 3. Intégrer l'inégalité. Exemple : sur [0\,;\,1], x^2 x, donc _0^1 x^2\,dx = 1/3 _0^1 x\,dx = 1/2. Réciproque fausse _a^b f 0 n'implique pas f 0 : _0^3 (x - 1)\,dx = 3/2 > 0 alors que x - 1 < 0 sur [0\,;\,1[.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral