Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• (x^n)' = nx^n-1, (1/x)' = -1/x^2, (x)' = 12x, (e^x)' = e^x. • Produit : (uv)' = u'v + uv' ; quotient : (u/v)' = u'v - uv'/v^2. • Fonction affine à l'intérieur : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b. • Dériver une fonction proposée permet de vérifier qu'elle convient.

Le cours

Acquis de Première : dérivées usuelles Le calcul intégral repose sur la lecture « à l'envers » du tableau des dérivées : pour calculer une intégrale, on cherchera une fonction F telle que F' = f. Il faut donc connaître parfaitement les dérivées vues en Première. • (k)' = 0 pour une constante k ; (x)' = 1 ; (x^n)' = nx^n-1 pour n entier, n 1. • (1/x)' = -1/x^2 sur ]-\,;\,0[ et sur ]0\,;\,+[. • (x)' = 12x sur ]0\,;\,+[ ; (e^x)' = e^x sur R. Opérations sur les dérivées • Somme et facteur constant : (u + v)' = u' + v' et (ku)' = ku'. • Produit : (uv)' = u'v + uv'. • Inverse et quotient (avec v 0) : (1/v)' = -v'/v^2 et (u/v)' = u'v - uv'/v^2. • Fonction affine à l'intérieur : (g(ax + b))' = a\,g'(ax + b), par exemple (e^ax+b)' = a\,e^ax+b. Méthode : vérifier une fonction proposée Pour vérifier qu'une fonction F convient, on la dérive et on compare F'(x) à l'expression attendue. Exemple : F(x) = xe^x donne F'(x) = 1 e^x + x\,e^x = (x + 1)e^x. Un coefficient oublié (le a de e^ax+b) ou un signe du quotient se repère immédiatement.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral