Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation

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À retenir

Pour le sens de variation : I_n+1 - I_n = _a^b (f_n+1(t) - f_n(t))\,dt. Si f_n(t) 0, la suite est minorée par 0.

Le cours

Suites définies par une intégrale Une suite d'intégrales est une suite (I_n)_n N dont le terme général s'écrit sous la forme : I_n = _a^b f_n(t)\,dt On étudie ces suites à l'aide des propriétés fondamentales de l'intégrale (positivité, croissance, linéarité). Étude du sens de variation On étudie la différence I_n+1 - I_n en regroupant sous une seule intégrale par linéarité : I_n+1 - I_n = _a^b (f_n+1(t) - f_n(t))\,dt Le signe de cette intégrale donne directement les variations de la suite. Signe et minoration Si pour tout t [a, b], f_n(t) 0 (avec a b), alors par positivité de l'intégrale : I_n 0 pour tout n. La suite est donc minorée par 0.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral