Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Calcul d'intégrale : [F(x)]_a^b = F(b) - F(a). Formule IPP : [uv]_a^b - _a^b u'v. Valeur moyenne : 1/b-a_a^b f. Dérivée de l'intégrale : (_a^x f(t)\,dt)' = f(x).

Le cours

Synthèse générale du calcul intégral Ce bilan récapitule toutes les propriétés fondamentales du calcul intégral en Terminale : théorème fondamental, Chasles, linéarité, positivité, valeur moyenne, intégration par parties et études de suites d'intégrales. Définition & Calcul • _a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) • _a^a f = 0 • _b^a f = -_a^b f • Chasles : _a^b f = _a^c f + _c^b f • Linéarité : ( f + g) = f + g Ordre & Géométrie • Pour a b : f 0 _a^b f 0 • f g _a^b f _a^b g • Valeur moyenne : = 1/b-a_a^b f • Aire entre deux courbes : _a^b (f - g)\,dx Techniques Avancées • (_a^x f(t)\,dt)' = f(x) • IPP : u v' = [uv] - u' v • Suites I_n : variations via I_n+1-I_n • Limites par théorème des gendarmes

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral