Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Rectangle : A = L ; triangle : A = base hauteur2. • Trapèze de bases B, b et de hauteur h : A = (B + b) h/2. • Sous une droite y = mx + p positive sur [a\,;\,b], les bases sont f(a) et f(b), la hauteur b - a. • Repère d'unités \|i\| et \|j\| : 1 u.a. = \|i\| \|j\|.

Le cours

Fondamentaux de géométrie : Aires usuelles et unité d'aire Dans un repère orthogonal (O; i, j), l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de base \|i\| et de hauteur \|j\|. Si le repère est orthonormé avec une unité de 1 cm, 1 u.a. = 1 cm^2. Formules géométriques • Rectangle : A = Longueur largeur • Triangle rectangle : A = a b/2 • Trapèze : A = (B + b) h/2 Encadrement par des rectangles L'aire sous une courbe quelconque peut être approchée et encadrée par la somme des aires de rectangles situés au-dessous et au-dessus de la courbe (méthode des rectangles). Découper en figures simples Un domaine limité par des segments se découpe en rectangles et en triangles. Le trapèze rectangle de bases 3 et 9 et de hauteur 3 est un rectangle 3 3 = 9 surmonté d'un triangle 3 6/2 = 9 : aire totale 18, comme avec la formule (9 + 3) 3/2. Passer des u.a. aux cm² On calcule d'abord l'aire en unités d'aire, puis on multiplie par l'aire d'une unité. Avec \|i\| = 2 cm et \|j\| = 0,5 cm, 1 u.a. = 1 cm^2 ; avec \|i\| = \|j\| = 2 cm, 1 u.a. = 4 cm^2.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral