Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour intégrer avec (x) : toujours poser u(x) = (x) afin de dériver en 1/x. Une primitive de (x) sur ]0, +[ est x(x) - x + C.

Le cours

Intégration de fonctions avec logarithme On ne connaît pas de primitive directe simple de (x) parmi les formules usuelles. Par contre, sa dérivée est rationnelle : ( x)' = 1/x. Dans toute intégration par parties faisant intervenir (x), on choisit impérativement : u(x) = (x) u'(x) = 1/x Primitive de (x) seul On écrit (x) = 1 (x) : u(x) = (x), u'(x) = 1/x et v'(x) = 1, v(x) = x. (x)\,dx = x(x) - x 1/x\,dx = x(x) - x + C. Forme x^n (x) Pour x^n (x)\,dx, on pose u(x) = (x) et v'(x) = x^n v(x) = x^n+1n+1. La nouvelle intégrale devient un simple monôme x^n/n+1.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral