Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Une intégrale peut être négative ! Si f 0 sur [a, b] avec a b, alors _a^b f(x)\,dx 0. L'aire géométrique vaut -_a^b f(x)\,dx.

Le cours

Intégrale et notion d'aire algébrique La formule _a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) s'applique à toute fonction continue, qu'elle soit positive, négative ou de signe variable sur [a, b]. L'intégrale représente une aire algébrique : comptée positivement au-dessus de l'axe des abscisses, et négativement au-dessous. Fonction négative Si f(x) 0 sur [a, b] (avec a b) : _a^b f(x)\,dx 0 L'aire géométrique du domaine situé sous l'axe des abscisses est alors égale à -_a^b f(x)\,dx = _a^b -f(x)\,dx. Bilan des aires Si f change de signe, l'intégrale est la différence entre l'aire des zones au-dessus de l'axe et l'aire des zones en dessous : _a^b f = A_haut - A_bas.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral