Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition

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À retenir

• Formule : _a^b u v' = [uv]_a^b - _a^b u' v. • Hypothèses : u et v dérivables sur [a, b], de dérivées u' et v' continues. • But : la nouvelle intégrale _a^b u'v doit être plus simple que la première.

Le cours

Formule d'intégration par parties (IPP) Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a, b], de dérivées u' et v' continues sur [a, b]. En intégrant la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv', on obtient la formule d'intégration par parties : _a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - _a^b u'(x)v(x)\,dx Méthode pas-à-pas 1. Poser u(x) et v'(x). 2. Calculer la dérivée u'(x) et une primitive v(x). 3. Appliquer la formule : crochet [uv]_a^b moins la nouvelle intégrale _a^b u'v. Le but est que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer que la première. Choix stratégique On choisit pour u(x) la fonction dont la dérivation simplifie l'expression (un polynôme dont le degré diminue, ou un logarithme qui devient une fraction rationnelle).

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral