Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Valeur moyenne de f sur [a, b] : = 1/b - a_a^b f(x)\,dx. C'est la hauteur du rectangle équivalent.

Le cours

Définition de la valeur moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel : = 1/b - a _a^b f(x)\,dx Interprétation géométrique La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de base [a, b] ayant exactement la même aire que le domaine sous la courbe de f : Aire = (b - a) = _a^b f(x)\,dx Théorème de la moyenne Comme f est continue sur [a, b], il existe au moins un réel c [a, b] tel que f(c) = . Méthode et exemple 1. Calculer _a^b f(x)\,dx avec une primitive. 2. Diviser par la longueur b - a. Exemple : sur [0\,;\,3], _0^3 x^2\,dx = 9, donc = 9/3 = 3, valeur atteinte en c = 3 1,73. Interprétation concrète Si v(t) est une vitesse (en km/h) sur [t_1\,;\,t_2] (en h), sa valeur moyenne est la vitesse moyenne du trajet : la distance parcourue divisée par la durée. Une valeur moyenne garde l'unité de f.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral