Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour déterminer I_n : encadrer f_n(t), intégrer l'inégalité, puis appliquer le théorème des gendarmes. Très fréquent pour t^n sur [0, 1] où _0^1 t^n\,dt = 1/n+1 0.

Le cours

Calcul de limite par encadrement Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt lorsqu'on ne peut pas calculer I_n directement : 1. On encadre la fonction f_n(t) par deux fonctions plus simples sur [a, b] : _n(t) f_n(t) _n(t). 2. On intègre cet encadrement : _a^b _n I_n _a^b _n. 3. On conclut grâce au théorème des gendarmes si les deux bornes ont la même limite. Encadrement par les bornes du terme régulier Pour I_n = _0^1 t^n g(t)\,dt où g est continue et positive : Si m g(t) M sur [0, 1], alors : m _0^1 t^n\,dt I_n M _0^1 t^n\,dt. Conclusion Comme _0^1 t^n\,dt = 1/n+1 0, les deux membres tendent vers 0, d'où _n + I_n = 0.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral